Często mówi się, że matematyka to królowa nauk. Analizując to zagadnienie możemy stwierdzić, że nie wzięło się ono znikąd. Wystarczy, że popatrzymy na otaczającą na rzeczywistość. Tak naprawdę z liczbami i działaniami arytmetycznymi mamy do czynienia na co dzień – podczas wizyty w sklepie, czytając ulubione portale tematyczne, wykonując obowiązki zawodowe czy nawet gotując obiad. Zastanawiając się, jakie zagadnienia wśród tych czynności są najczęściej wykorzystywane, z pewnością uwzględnimy dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Pośród tego możemy również spotkać się z pojęciem średniej, której przyjrzymy się nieco bliżej.
Jak obliczyć średnią arytmetyczną?
Czytając lub myśląc o średniej najczęściej mamy do czynienia z jej najpopularniejszą odmianą – średnią arytmetyczną. To właśnie ona pojawia się m.in. w różnych statystykach, w tym publikowanych przez instytucje publiczne, takie jak m.in. Główny Urząd Statystyczny. Średnia arytmetyczna jest uznawana za dość powszechną i uniwersalną miarę, która pozwala na dokonywanie szacunków czy prezentowanie wyników. Pytanie pojawia się, jak ją poprawnie obliczyć?
Otóż w praktyce jest to bardzo prosta czynność. Średnia arytmetyczna to po prostu suma liczb, która jest podzielona przez ich ilość. Przykładowo załóżmy, że chcemy obliczyć średnie wynagrodzenie trzech pracowników, którzy zarabiają odpowiednio 4000 zł, 7000 zł i 10000 zł. Przystępując do działania, w pierwszym kroku musimy dodać do siebie te wartości, a następnie podzielić je przez trzy. Nasz wynik to 7000 zł.
Jak obliczyć średnią ważoną?
Nieco bardziej skomplikowanym przypadkiem jest pojęcie średniej ważonej. Jak sama nazwa wskazuje, mamy tu do czynienia z elementami, którym jest przypisywana określona waga. Samo obliczenie średniej ważonej polega natomiast na podzieleniu sumy iloczynów średniej i liczebności przez sumę liczebności grup. Na pierwszy rzut oka brzmi to dość skomplikowanie, jednak w praktyce jest to działanie o wiele prostsze.
Przechodząc do przykładu załóżmy, że dane są następujące kwoty wynagrodzeń z odpowiadającymi im wagami:
- wynagrodzenie 3000 zł, któremu nadajemy wagę 4;
- wynagrodzenie 6000 zł, które ma wagę 3;
- wynagrodzenie 7000 zł, które ma wagę 2;
Pierwszym krokiem jest pomnożenie wynagrodzeń i wagi, a następnie dodanie tych wartości, dzięki czemu uzyskamy licznik naszego ułamka. W związku z tym otrzymujemy tu wartość 44 000. Następnie skupmy się na mianowniku. W tym celu dodajmy do siebie wagi, co da nam wynik 11. Teraz wystarczy podzielić jedną wartość przez drugą. Nasz rezultat to 4000 zł.
Jak wagi wpływają na wynik działania?
Analizując powyższy przykład możemy zastanawiać się, jak wspomniane wcześniej wagi wpływają na wynik całego działania? W rzeczywistości często stosuje się podejście, które mówi o tym, że ważniejsze liczby powinny otrzymywać większą wagę. Innymi słowy, im większa waga danej liczby, tym większy wpływ ma na wynik całego działania. Zwróćmy uwagę, że w naszym przypadku największe znaczenie miała kwota 3000 zł. Jeśli obliczylibyśmy średnią arytmetyczną na podstawie powyższych danych, to po zaokrągleniu otrzymalibyśmy wynik 5333 zł. Łatwo zauważyć, że jest on wyższy od tego obliczonego przy użyciu średniej ważonej. Dlaczego tak jest? Otóż właśnie dlatego, że w przypadku średniej ważonej największą wagę przyporządkowaliśmy najniższej kwocie.
Jak obliczyć średnią geometryczną?
Poza średnią arytmetyczną i ważoną, możemy również wyróżnić średnią geometryczną. Co prawda jest ona stosowana nieco rzadziej od poprzedników, jednak wiedza na temat jej obliczania nadal może być przydatna. Odnosząc się do wzoru możemy powiedzieć, że jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu liczb, które wchodzą w skład średniej. W związku z tym mając liczby 3,5,8 powinniśmy je zsumować i wyciągnąć z nich pierwiastek trzeciego stopnia. Nasz wynik po zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku to 2,51.
Co w przypadku, gdy liczb jest mniej lub więcej?
Jeżeli zastanawiamy się, jak obliczyć średnią geometryczną w momencie, gdy liczb jest więcej lub mniej, to odpowiedź jest bardzo prosta. Analogicznie do powyższego przykładu. W związku z tym, jeżeli mamy np. 4 liczby, wówczas sumujemy je i wyciągamy z nich pierwiastek czwartego stopnia. W przypadku 2 liczb będzie to pierwiastek 2 stopnia itp.
Jak widzimy, średnia to dość szerokie pojęcie, stosowane powszechnie w matematyce i statystyce. W rzeczywistości najczęściej korzystamy ze średniej arytmetycznej, jednak nie jest to jedyna średnia, którą możemy obliczyć. Poza nią mamy do dyspozycji m.in. średnią ważoną czy geometryczną. Co więcej, w matematyce wyróżnia się również inne, jeszcze bardziej skomplikowane rodzaje średnich, takie jak np. średnia harmoniczna.
